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LNCC/MCTIC - Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional
Sistemas Lineares (GA0-32) - Aula 24 - Parte 2/3 - Estabilizabilidade de SLITs a Tempo Contínuo - SLIT completamente controlável
Prof. Paulo Esquef
Página do Curso:
https://www.lncc.br/~pesquef/GA032_4P22/
OBS.: A aula é ministrada sem audiência. Por isso não me dirijo à turma.
Parte 2: https://eduplay.rnp.br/portal/video/180731
Objetivos/Programa
1) Apresentar condições para a estabilizabilidade de um SLIT a tempo contínuo, via um esquema de realimentação de estado. Contexto 1: o par(A,B) é completamente controlável, mas a matriz A não é estável (tem autovalores com parte real maior ou igual a zero).
2) Apresentar o resultado que afirma ser possível estabilizar o sistema em malha fechada via um controle do tipo u(t) = - K x(t), com matriz K apropriada.
Minutagem:
00:06 Introdução: apresentação do SLIT em questão e do objetivo da estabilizabilidade, no contexto de um sistema completamente controlável, mas com matriz A instável. É possível estabilizar o sistema em malha fechada via um controle do tipo u(t) = - K x(t), com matriz K apropriada? Quem é K?
02:41: Expressão para a matriz A_R do sistema homogêneo que resulta da realimentação de estado: A_R = A - BK.
03:54 Diagrama de fluxo do sistema realimentado: u(t) = -K x(t).
05:27 Requisitos para usar a realimentação de estados.
06:58 Exemplo 1: SLIT SISO (uma entrada e uma saída) de primeira ordem.
11:04 Exemplo 2: SLIT SISO de ordem n, com matriz A na forma companheira da equação diferencial que representa o sistema (implementado na forma direta II canônica).
26:20 Generalização do Exemplo 2 para matrizes A e B sem estrutura específica.
28:39 Caso geral da estabilizabilidade de um SLIT a tempo contínuo MIMO (múltiplas entradas e múltiplas saídas) de ordem n.
28:59 Relação entre os autovalores de A e os de A~ = -\mu I - A, que pode ser estabilizável a partir de A instável com uma escolha apropriada de \mu real positivo.
31:49 Apresentação e demonstração do teorema que afirma que se o par(A,B) é controlável, então o par(A~,B) também é controlável.
37:30 Exemplo de SLIT com dois polos reais, um estável e outro instável, e o critério para a escolha do valor de \mu que estabiliza A~.
40:51 Relação entre a matriz A~ e a matriz A_R e a demonstração do resultado que afirma que se A~ é estável, então A_R = A - BK também é estável, para K = 1/2 B^T W_A^(-1), sendo W_A o Gramiano de alcançabilidade da matriz A~ =-\mu - A.
41:06 Revisão do teorema que relaciona a Estabilidade assintótica de SLIT a tempo contínuo e uma equação de Lyapunov.
https://eduplay.rnp.br/portal/video/151878
42:13 Revisão do teorema que relaciona a Controlabilidade completa de SLIT a tempo contínuo e uma equação de Lyapunov.
https://eduplay.rnp.br/portal/video/151878 (ver aula 17)
43:16 Relação entre A~ e A_R via equação de Lyapunov para controlabilidade. A~ é estável para um \mu real positivo apropriado e o par(A~,B) é controlável. Logo, vale que A~ W_A + W_A A~^T = -BB^T.
49:44 Obtenção da expressão para a matriz K = 1/2 B^T W_A^(-1).
Nota importante sobre o método do Gramiano: para a escolha de \mu positivo, o K acima garante que a parte real de todos os polos do sistema realimentado é igual a -\mu. Entretanto, não permite o posicionamento da parte imaginária dos polos, se houver.
50:24 Obtenção do resultado A_R W_A + W_A (A_R)^T = -Q, com Q e W_A matrizes simétricas positivas-definidas, que garante que A_R é estável.
Pré-requisitos
Ter conhecimentos de:
1) Álgebra Linear (operações com vetores e matrizes, posto, autovalores e autovetores, matriz simétrica positiva-definida, etc...)
2) Controlabilidade de SLITs a tempo contínuo
https://eduplay.rnp.br/portal/video/180589
https://eduplay.rnp.br/portal/video/180590
https://eduplay.rnp.br/portal/video/180598
https://eduplay.rnp.br/portal/video/180558
lps.lncc.br
Material do curso de PDS:
http://www.lncc.br/~pesquef/GA038_1p23/
senha material: formadejordan
Material (módulos computacionais) de Sistemas Lineares
http://lps.lncc.br/index.php/demonstracoes/ga032-3t17
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LNCC/MCTI - Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional
Sistemas Lineares (GA-032) - Aula 24 - Parte 1/3 - Decomposição de Kalman de SLITs - Exemplo Prático - Matlab
Prof. Paulo Esquef
Página do curso:
https://www.lncc.br/~pesquef/GA032_4P22/
Nota: a vídeo-aula é gravada sem audiência.
Objetivos/Programa
1) Apresentar um exemplo prático de como obter a matriz de transformação de base P para realizar a decomposição de Kalman.
O exemplo em questão é um exercício proposto em:
https://math.stackexchange.com/questions/2924128/kalman-decomposition-of-given-system
Vamos usar o Matlab para auxiliar a obtenção das bases para a intersecção dos espaços controlável, não-controlável, observável e não-observável.
É desejável ver a aula teórica sobre a Decomposição de Kalman:
https://eduplay.rnp.br/portal/video/180686
Ver também:
https://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_decomposition
Código de Matlab:
http://lncc.br/~pesquef/GA032_4P22/listas/Lista_10_ex_extra.m
Obs: no matlab, a função minreal.m faz a decomposição de Kalman
Minutagem:
00:11 Apresentação do problema específico de Decomposição de Kalman.
03:24 Obtenção de bases para os espaços controlável (Pc) e não-controlável (Pcb)
08:01 Obtenção de bases para os espaços observável (Po) e não-observável (Pob)
09:56 Decomposição de Kalman: estrutura e ordem das partições da matriz base P = [Pcob Pco Pcbob Pcbo];
10:54 Obtenção de Pcob: base para insterseção entre os espaços Pc e Pob.
12:55 Obtenção de Pco: diretamente por fórmula e, alternativamente, de modo mais manual.
17:36 Obtenção de Pcbob
18:47 Obtenção de Pcbo
21:01 Obtenção de Ah, Bh e Ch (matrizes-chapéu), após a transformação de base que faz a decomposição de Kalman.
21:37 Análise da estrutura de partições das matrizes Ah, Bh e Ch.
24:13 Encerramento
24:27 Créditos
Pré-requisitos
Ter conhecimentos de:
1) Álgebra Linear (operações com vetores e matrizes, posto, teorema no núcleo e da imagem, posto do produto de matrizes)
2) Decomposição Controlável:
https://eduplay.rnp.br/portal/video/180682
3) Decomposição Observável:
https://eduplay.rnp.br/portal/video/180685
lps.lncc.br
Material do curso de PDS:
http://www.lncc.br/~pesquef/GA038_1p23/
senha material: formadejordan
Material (módulos computacionais) de Sistemas Lineares
http://lps.lncc.br/index.php/demonstracoes/ga032-3t17
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Projeto de compensadores por atraso de fase no domínio da frequência.
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